Question

10．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为A，若直线AF与圆O：x²+y²=$\frac{{3{a^2}}}{16}$相离，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

• A． $（0，\frac{1}{2}）$
• B． $（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$
• C． $（\frac{1}{2}，1）$
• D． $（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$

Answer 1

分析 求得AF的方程，利用点到直线的距离公式，及椭圆的离心率公式即可求得该椭圆离心率的取值范围．

解答 解：直线AF的方程为$\frac{x}{c}+\frac{y}{b}=1$，即bx+cy-bc=0，
圆心O到直线AF的距离$d=\frac{{|{-bc}|}}{{\sqrt{{b^2}+{c^2}}}}=\frac{bc}{a}＞\frac{{\sqrt{3}}}{4}a$，
两边平方整理的，16（a²-c²）c²＞3a⁴，于是16（1-e²）e²＞3，解得$\frac{1}{4}＜{e^2}＜\frac{3}{4}$．
解得：$\frac{1}{2}$＜e＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查椭圆性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．