Question

15．如图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，$∠ABC=\frac{π}{3}$，且PA⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若平面PAB与平面PCD的夹角为$\frac{π}{3}$，试求线段PA的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知结合线面垂直的性质可得BD⊥PA，再由四边形ABCD是菱形，得BD⊥AC，利用线面垂直的判定可得BD⊥平面PAC，进一步得到平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）取DC的中点E，由已知可得AE⊥CD，分别以AE、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，设PA=m（m＞0）．求出A、P、C、D的坐标，得到平面
PCD与平面PAB的法向量，由两法向量所成角的余弦值列式求得线段PA的长．

解答 （Ⅰ）证明：由PA⊥平面ABCD，得BD⊥PA，
∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
又∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
又∵BD?平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）解：取DC的中点E，由已知可得AE⊥CD，
分别以AE、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz（如图），
设PA=m（m＞0）．
则$A（{0，0，0}），P（{0，0，m}），C（{\sqrt{3}，1，0}），D（{\sqrt{3}，-1，0}）$，
∴$\overrightarrow{DP}=（{-\sqrt{3}，1，m}），\overrightarrow{DC}=（{0，2，0}）$．            
设平面PCD的法向量为n=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}x+y+mz=0\\ 2y=0\end{array}\right.$，取x=m，得$\overrightarrow{n}=（m，0，\sqrt{3}）$．
平面PAB的法向量可取$\overrightarrow{r}$=（1，0，0），
则cos$\frac{π}{3}$=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{r}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{r}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{r}|}=\frac{m}{\sqrt{{m}^{2}+3}}=\frac{1}{2}$，解得m=1，
故线段PA的长为1．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．