Question

20．已知P（1，1）为椭圆2x²+y²=4内一定点，过P引一条弦，使此弦以P为中点，则弦所在的直线方程2x+y-3=0．

Answer 1

分析 方法一：设A和B点坐标，代入椭圆方程，作差，根据直线的斜率公式，即可求得直线的斜率，利用点差法即可求得直线AB的方程；
方法二：设A（1+m，1+n），B（1-m，1-n），代入椭圆方程，作差，求得2m+n=0，AB的斜率k=$\frac{n}{m}$=-2，利用点差法即可求得直线AB的方程；

解答 解：方法一：设此弦的端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则2x₁²+y₁²=4，2x₂²+y₂²=4，相减可得：2（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0．
∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
∴2（x₁-x₂）+（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-2，
∴此弦所在的直线方程为y-1=-2（x-1），即2x+y-3=0．
故答案为：2x+y-3=0．
方法二：设以P（1，1）为中点的弦与椭圆交于A（1+m，1+n），B（1-m，1-n），
∴2（1+m）²+（1+n）²=4，2（1-m）²+（1-n）²=4，
两式相减得：2×2×2m+2×2n=0，则2m+n=0，
则AB的斜率k=$\frac{n}{m}$=-2，
此弦所在的直线方程为y-1=-2（x-1），即2x+y-3=0．
故答案为：2x+y-3=0．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式与斜率计算公式、“点差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．