Question

7．已知函数f（x）=2lnx-x²．
（1）求f（x）的单调区间．
（2）求f（x）在区间$[\frac{1}{e}，e]$的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出f（x）的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
$f'（x）=\frac{2}{x}-2x=\frac{{2-2{x^2}}}{x}$…（3分）
由f'（x）＞0得 0＜x＜1，
由f'（x）＜0得x＞1…（4分）
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），
单调递减区间为（1，+∞）…（6分）
（2）由（1）知当$x∈[\frac{1}{e}，e]$，f（x）的单调递增区间为$[\frac{1}{e}，1）$，
单调递减区间为（1，e]，
∴f（x）_max=f（1）=-1…（8分）
又∵f（$\frac{1}{e}$）=-2-$\frac{1}{{e}^{2}}$，f（e）=2-e²，
而-2-$\frac{1}{{e}^{2}}$＜2-e²，
∴$f{（x）_{min}}=2-{e^2}\end{array}$…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．