Question

（2011•江苏二模）已知函数f（x）=

x+a

+a|x|，a为实数．
（1）当a=1，x∈[-1，1]时，求函数f（x）的值域；
（2）设m、n是两个实数，满足m＜n，若函数f（x）的单调减区间为（m，n），且n-m≤

31

16

，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设y=f（x），a=1时，f(x)=

x+1

+|x|，将绝对值符号化去，分类讨论当x∈（0，1]时，f(x)=

x+1

+x为增函数；当x∈[-1，0）时，f(x)=

x+1

-x，分别求出它们函数值的取值范围，进而可求函数f（x）的值域；
（2）令t=

x+a

，则y=g（t）=t+a|t²-a|，分类讨论：①a=0时，f(x)=

x

无单调减区间；②a＜0时，x在(

1

4a2

-a，+∞)上f（x）是减函数；③a＞0时，y=g(t)=

-at2+t+a2，0≤t≤ a at2+t-a2，t＞ a

，当且仅当

1

2a

＜

a

时，即a＞2-

2

3

时，在t∈(

1

2a

，

a

)上，g（t）是减函数，即x∈(

1

4a2

-a，0)时，f（x）是减函数，根据函数f（x）的单调减区间为（m，n），且n-m≤

31

16

，可求a的取值范围．

解答：解：设y=f（x）
（1）a=1时，f(x)=

x+1

+|x|
当x∈（0，1]时，f(x)=

x+1

+x为增函数，y的取值范围为（1，1+

2

]
当x∈[-1，0）时，f(x)=

x+1

-x
令t=

x+1

，0≤t≤1，∴x=t²-1
∴y=-(t-

1

2

)2+

5

4

，0≤t≤1，
∴y的取值范围为[1，

5

4

]
∵

5

4

＜1+

2

∴当a=1，x∈[-1，1]时，函数f（x）的值域为[1，1+

2

]
（2）令t=

x+a

，
∴x=t²-a，t≥0，y=g（t）=t+a|t²-a|
①a=0时，f(x)=

x

无单调减区间
②a＜0时，y=g（t）=at²+t-a²，t在(-

1

2a

，+∞)上g（t）是减函数，
∴x在(

1

4a2

-a，+∞)上f（x）是减函数
∴a＜0不成立
③a＞0时，y=g(t)=

-at2+t+a2，0≤t≤ a at2+t-a2，t＞ a

当且仅当

1

2a

＜

a

时，即a＞2-

2

3

时，在t∈(

1

2a

，

a

)上，g（t）是减函数，即x∈(

1

4a2

-a，0)时，f（x）是减函数
∴n-m=a-

1

4a2

≤

31

16

∴（a-2）（16a²+a+2）≤0
∴a≤2
∴a的取值范围为(2-

2

3

，2]

点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．