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    如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.

    （Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；

    （Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.

     

    【答案】

    （1）证明略

    （2）

    【解析】

    解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，，

    Ｅ是ＣＤ的中点，所以

    所以

    而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.

    （Ⅱ）过点Ｂ作

    由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是为直线ＰＢ与平面PAE

    所成的角，且.

    由知，为直线与平面所成的角.

    由题意，知

    因为所以

    由所以四边形是平行四边形，故于是

    在中，所以

    于是又梯形的面积为所以四棱锥的体积为

    解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为：

    （Ⅰ）易知因为

    所以而是平面内的两条相交直线，所以

    (Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与

    所成的角和PB与所成的角相等，所以

    由（Ⅰ）知，由故

    解得.又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为.

    【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积.

     

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    （1）根据图2所给的主视图、侧视图画出相应的俯视图，并求出该俯视图所在的平面图形的面积．
    （2）图3中，L、E均为棱PB上的点，且
    BE
    EP
    =1，
    BL
    LP
    =5    ，M、N分别为棱PA、PD的中点，问在底面正方形的对角线AC上是否存在一点F，使EF∥平面LMN．若存在，请具体求出CF的长度；若不存在，请说明理由．
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    （Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
    （Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积．

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    		5
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    科目：高中数学 来源：高考真题 题型：解答题

    如图5 ，在四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD ，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E 是CD 的中点。
    （1）证明：CD⊥平面PAE ；
    （2）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积。

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