Question

如图：在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直（图1），图2为该四棱锥的主视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形．
（1）根据图2所给的主视图、侧视图画出相应的俯视图，并求出该俯视图所在的平面图形的面积．
（2）图3中，L、E均为棱PB上的点，且

BE

EP

=1，

BL

LP

=5，M、N分别为棱PA、PD的中点，问在底面正方形的对角线AC上是否存在一点F，使EF∥平面LMN．若存在，请具体求出CF的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据三视图推出俯视图的形状，求出面积即可．
（2）如图，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为Z轴建立空间直角坐标系，利用

n • LM =0 n • NM =0

求出平面LMN的法向量

n

，然后证明
EF∥平面LMN，说明底面正方形的对角线AC上存在符合题意的点F，求出CF，即可．

解答：解：（1）该四棱锥相应的俯视图为内含对角线、
边长为6cm的正方形（如图）（2分）

其面积为：6×6=36（cm²）（4分）
（注：图正确，面积计算体现了图形为正方形一样给分）
（2）如图，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，
CP为Z轴建立空间直角坐标系，
则D（6，0，0），A（6，6，0），B（0，6，0），
P（0，0，6），E（0，3，3），L（0，1，5），
M（3，3，3），N（3，0，3）（6分）
∴

LM

=(3，2，-2)，

NM

=(0，3，0)，

CA

=(6，6，0)（7分）
设平面LMN的法向量为

n

=（x，y，z）
由

n • LM =0 n • NM =0

得

3x+2y-2z=0 3y=0

令x=2则

n

=（2，0，3）（9分）
设

CF

=λ

CA

=(6λ，6λ，0)，（10分）
则

EF

=

EC

+

CF

=（0，-3，-3）+（6λ，6λ，0）=（6λ，6λ-3，-3）（11分）
由

EF

•

n

=0，得12λ-9=0，即λ=

3

4

（12分）
又EF?平面LMN，所以，EF∥平面LMN（13分）
即在底面正方形的对角线AC上存在符合题意的点F，
CF=

3

4

AC=

9 2

2

cm．（14分）

点评：本题是基础题，考查几何体的三视图，准确判断几何体的形状是解题的关键，注意空间直角坐标系的应用，是中档题，考查计算能力，逻辑思维能力．