Question

f（x）定义域为（0，+∞），且对任意x＞0，y＞0都有f(

x

y

)=f(x)-f(y)．当x＞1时，有f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（6）=1，解不等式 f(x+3)-f(

1

x

)＜2．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）依题意，利用单调性的定义判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，再求得f（36）=2，将不等式f（x+3）-f（

1

x

）＜2转化为f（x²+3x）＜f（36），利用f（x）在（0，+∞）上的单调性即可求得其解集．

解答：解：（1）令x=y=1，得f（

1

1

）=f（1）-f（1）=0，即f（1）=0；
（2）设0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，f（

x2

x1

）＞0，
f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
∵f（6）=1，
∴f（6）=f（

36

6

）=f（36）-f（6）=1，
∴f（36）=2，
∴原不等式化为f（x²+3x）＜f（36），f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴

x+3＞0 1 x ＞0 x2+3x＜36

，解得0＜x＜

3 17 -3

2

．
∴不等式f（x+3）-f（

1

x

）＜2的解集为{x|0＜x＜

3 17 -3

2

}．

点评：本题考查抽象函数的应用，突出考查函数的单调性的判断与一元二次不等式的解法，属于中档题．