Question

已知函数f（x）定义域为（0，2），求下列函数的定义域：
（1）y=f（x²）+23；
（2）y=

2f(x2)+1

log 1 2 (2-x)

．

Answer 1

分析：（1）本题是求复合函数的定义域，由复合函数的性质知，内层函数的值域即外层函数的定义域，故可令内层函数属于外层函数的定义域（0，2），解此一元二次不等式求复合函数的定义域；
（2）本题中求函数的定义域要保证内层函数的值域即外层函数的定义域，还要注意分母不为0且分母中根号下非负，以及真数大于0，故求解这个函数的定义域要涉及到好几个不等式，把它们联立成不等式组，求其解集即可．

解答：解：函数f（x²）是由u=x²与f（u）这两个函数复合而成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量．由于f（x），f（u）是同一个函数，故（1）为已知0＜u＜2，即0＜x²＜2．求x的取值范围．
（1）由0＜x²＜2，得-

2

＜x＜

2

，且x≠0
所以函数的定义域为{x|-

2

＜x＜

2

，且x≠0}
（2）由（1），解

- 2 ＜x＜ 2 ，且x≠0 log  1 2 (2-x)＞0

得1＜x＜

2

即所求函数的定义域为（1，

2

）

点评：本题的考点是函数的定义域及其求法，求函数的定义域即求使得函数的解析式有意义的自变量的取值集合，其方法一般是令分母不为0，偶次根式根号下非负，对数的真数大于0等．解题时要注意积累求定义域的规律，本题考查到了求复合函数的定义域的方法，以及含对数式的函数定义域的求法．