Question

6．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（1）请分析函数y=$\frac{x}{150}$+1是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
（2）若该公司采用函数模型y=$\frac{10x-3a}{x+2}$作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．

Answer 1

分析 （1）设奖励函数模型为y=f（x），根据“奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，说明在定义域上是增函数，且奖金不超过9万元，即f（x）≤9，同时奖金不超过投资收益的20%．即f（x）≤$\frac{x}{5}$．
（2）先将函数解析式进行化简，然后根据函数的单调性，以及使g（x）≤9对x∈[10，1000]恒成立以及使g（x）≤$\frac{x}{5}$对x∈[10，1000]恒成立，建立不等式，求出相应的a的取值范围．

解答 解：（1）对于函数模型y=f（x）=$\frac{x}{150}$+1，
当x∈[10，1 000]时，f（x）为增函数，--------------------------（1分）
f（x）_max=f（1 000）=$\frac{1000}{150}$+1=$\frac{20}{3}$+1＜9，所以f（x）≤9恒成立，---（2分）
又因为当x∈[10，1 000]时f（x）-$\frac{x}{5}$=-$\frac{29x}{150}$+1≤f（10）=-$\frac{14}{15}$＜0，
所以f（x）≤$\frac{x}{5}$恒成立，----------------------------------------（3分）
故函数模型y=$\frac{x}{150}$+1符合公司要求．---------------------------（4分）
（2）对于函数模型y=g（x）=$\frac{10x-3a}{x+2}$，即g（x）=10-$\frac{3a+20}{x+2}$，
当3a+20＞0，即a＞-$\frac{20}{3}$时递增，-------------------------------（5分）
为使g（x）≤9对于x∈[10，1 000]恒成立，
即要g（1 000）≤9，3a+18≥1 000，即a≥$\frac{982}{3}$，------------------（7分）
为使g（x）≤$\frac{x}{5}$对于x∈[10，1 000]恒成立，
即要$\frac{10x-3a}{x+2}$≤5，即x²-48x+15a≥0恒成立，
即（x-24）²+15a-576≥0（x∈[10，1 000]）恒成立，又24∈[10，1 000]，
故只需15a-576≥0即可，
所以a≥$\frac{192}{5}$．-------------------------------------------------（9分）
综上，a≥$\frac{982}{3}$，故最小的正整数a的值为328．--------------------（10分）

点评 本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及函数的最值得应用，同时考查了函数的单调性和恒成立问题，以及转化的思想，属于中档题．