Question

如图,在长方体OAEB—O₁A₁E₁B₁中,｜OA｜=3,｜OB｜=4,｜OO₁｜=2,点P在棱AA₁上,且｜AP｜=2｜PA₁｜,点S在棱BB₁上,且｜SB₁｜=2｜BS｜,点Q、R分别是O₁B₁、AE的中点,求证:PQ∥RS.

Answer 1

证法一:如图所示,建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,4,0),O₁(0,0,2),A₁(3,0,2),B₁(0,4,2),E(3,4,0).

∵｜AP｜=2｜PA₁｜,∴,

即(0,0,2)=(0,0,).

∴P点坐标为(3,0,).

同理可得Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,).

∴=(-3,2,)=.

∴∥.

又∵RPQ,∴PQ∥RS.

证法二:设=a,=b,=c,则

∴∴∥.

又∵RPQ,∴PQ∥RS.绿色通道：

利用向量证明线线平行的一般步骤为:

(1)证明两向量共线;

(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上;

(3)得出结论.