Question

 如图在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=2，BC=1，点E、F、G分别是AA₁、AB、DD₁的中点．
（I）求证：FG∥平面BCD₁；
（II）求二面角A-CE-D的正弦值．

Answer 1

分析：（I）过G作GM∥CD交CC₁于M，交D₁C于O，连接BO，可得O为D₁C的中点，所以GO

∥ .

.

1

2

DC

∥ .

.

BF，可得GF∥BO，再根据线面平行的判定定理证明线面平行．
（II）过A作AH⊥DE于H，过H作HN⊥EC于N，连接AN，由题意可得AH⊥并且AN⊥EC，可得∠ANH为二面角A-CE-D的平面角，再利用解三角形的有关知识求出答案即可．

解答：解：（I）过G作GM∥CD交CC₁于M，交D₁C于O，连接BO．
∵G为DD₁的中点，∴O为D₁C的中点
从而GO

∥ .

.

1

2

DC

∥ .

.

BF
故四边形GFBO为平行四边形…（3分）
∴GF∥BO
又GF?平面BCD₁，BO?平面BCD₁
∴GF∥平面BCD₁． …（5分）
（II）过A作AH⊥DE于H，过H作HN⊥EC于N，连接AN．
∵DC⊥平面ADD₁A₁，
∴CD⊥AH．
又∵AH⊥DE，
∴AH⊥平面ECD．
∴AH⊥EC． …（7分）
又HN⊥EC
∴EC⊥平面AHN．
故AN⊥CE，
∴∠ANH为二面角A-CE-D的平面角 …（9分）
在Rt△EAD中，∵AD=AE=1，∴AH=

2

2

在Rt△EAC中，∵EA=1，AC=

5

，∴AN=

30

6

∴sin∠ANH=

AH

AN

=

15

5

…（12分）

点评：本小题主要考查空间线面的关系以及二面角的平面角，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力．