Question

如图在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E是棱AB上的动点．
（1）若异面直线AD₁与EC所成角为60⁰，试确定此时动点E的位置．
（2）求三棱锥C-DED₁的体积．

Answer 1

分析：（1）以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系则E（1，t，0）则A（1，0，0），D（0，0，0），D₁（0，0，1），C（0，2，0），由向量法能求出异面直线AD₁与EC所成角的大小列出等式即可求出t．
（2）设点C到平面DED₁的距离为h，能求出点C到平面D₁DE的距离为1，再求得底面面积，根据锥体的体积公式求解即得．

解答：解：（1）以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系
设：E（1，t，0）则A（1，0，0），D（0，0，0），D₁（0，0，1），C（0，2，0），

D1A

=(1，0，-1)

CE

=(1，t-2，0)，4分
根据数量积的定义及已知得：
∴1+0•(t-2)+0=

2

•

1+(t-2)2

•cos60°．
t=1，∴E的位置是AB中点.7分
（2）VC-DED1=VD1-DEC=

1

3

•

1

2

•2•1•1=

1

3

，14分．

点评：本题考查空间直角坐标系、异面直线所成角、棱柱、棱锥、棱台的体积的计算，解题时要认真审题，仔细解答．