Question

如图在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，AD=b，AC₁=c，点M为AB的中点，点N为BC的中点．
（1）求长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积；
（2）若a=4，b=2，c=

21

，求异面直线A₁M与B₁N所成的角．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理可得AC=

a2+b2

，进而可得CC1=

c2-a2-b2

，代入体积公式可得；
（2）取AD的中点E，连A₁E、EM，可证∠EA₁M等于异面直线A₁M与B₁N所成的角或其补角，由余弦定理可得其余弦值，由反三角函数可得．

解答：解：（1）连AC、AC₁，∵△ABC是直角三角形，∴AC=

a2+b2

．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，∴C₁C⊥BC，C₁C⊥CD，
又DC∩BC=C，∴C₁C⊥平面ABCD，∴C₁C⊥AC．
又在Rt△ACC₁中，AC₁=c，AC=

a2+b2

，∴CC1=

c2-a2-b2

，
∴VABCD-A1B1C1D1=ab

c2-a2-b2

（2）取AD的中点E，连A₁E、EM，
∵EN

∥ .

.

AB

∥ .

.

A1B1，∴四边形A₁B₁NE为平行四边形，
∴A₁E∥B₁N，∴∠EA₁M等于异面直线A₁M与B₁N所成的角或其补角．
∵AM=2，AE=1，AA₁=1，得A1M=

5

，A1E=

2

，EM=

5

，
∴cos∠EA1M=

2

2• 5

=

10

10

，∠EA1M=arccos

10

10

．
∴异面直线A₁M与B₁N所成的角等于arccos

10

10

点评：本题考查长方体的体积公式，以及异面直线所成的角，属中档题．