Question

10．函数y=$\frac{2sinx-1}{2+sinx}$（x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5}{6}$π]）的值域为[$\frac{8}{5}$，$\frac{5}{3}$]．

Answer 1

分析 由题意可得t=sinx∈[$\frac{1}{2}$，1]，可得y=$\frac{2sinx-1}{2+sinx}$=$\frac{2t-1}{2+t}$=2-$\frac{5}{2+t}$，由不等式的性质可得．

解答 解：∵x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5}{6}$π]，∴t=sinx∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴y=$\frac{2sinx-1}{2+sinx}$=$\frac{2t-1}{2+t}$=$\frac{2（2+t）-5}{2+t}$=2-$\frac{5}{2+t}$，
∵t∈[$\frac{1}{2}$，1]，∴2+t∈[$\frac{5}{2}$，3]，
∴$\frac{5}{2+t}$∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{5}$]，∴-$\frac{5}{2+t}$∈[-$\frac{2}{5}$，-$\frac{1}{3}$]，
∴2-$\frac{5}{2+t}$∈[$\frac{8}{5}$，$\frac{5}{3}$]，
∴函数的值域为：[$\frac{8}{5}$，$\frac{5}{3}$]
故答案为：[$\frac{8}{5}$，$\frac{5}{3}$]

点评 本题考查三角函数的最值，换元并分离常数利用不等式的性质是解决问题的关键，属中档题．