Question

（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．（不等式选做题）不等式|x+1|-|x-3|≥0的解集是

{x|x≥1}

．
B．（几何证明选做题） 如图，⊙O的直径AB=6cm，P是延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CAP=30°，则PC=

3

3

．
C．（极坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知曲线ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，则实数a的值为

2或-8

．

Answer 1

分析：A．通过移项后采用两边平方即可解出；
B．利用圆的切线的性质、等腰三角形的性质及直角三角形中的边角关系即可求出；
C．先把极坐标方程化为直角坐标方程，再利用直线与圆相切的性质即可得出．

解答：解：A．不等式|x+1|-|x-3|≥0可化为|x+1|≥|x-3|，两边平方得（x+1）²≥（x-3）²，化为8x≥8，解得x≥1，∴原不等式的解集为{x|x≥1}；
B．∵PC与圆O相切于点C，∴OC⊥PC．
在△OAC中，OA=OC，∠CAO=30°，∴∠COP=60°．
在Rt△OCP中，PC=OCtan60°=3

3

；
C．由曲线ρ=2cosθ得ρ²=2ρcosθ，∴x²+y²=2x，化为（x-1）²+y²=1，∴圆心C（1，0），半径r=1；
由直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0化为3x+4y+a=0，∴圆心C（1，0）到此直线的距离d=

|3+0+a|

32+42

=

|3+a|

5

；
∵直线与圆相切，∴d=r，即

|3+a|

5

=1，解得a=2或-8．
故答案分别为{x|x≥1}，3

3

，2或-8．

点评：熟练掌握含绝对值的不等式的解法、直线与圆相切的性质定理、直角三角形的边角关系是解题的关键．