Question

已知抛物线C：y²=2px的焦点为F，抛物线C与直线l₁：y=-x的一个交点的横坐标为8．
（I）求抛物线C方程；
（II）不过原点的直线l₂与l₁垂直，且与抛物线交于不同的两点A、B，若线段AB的中点 为P，且|OP|=|PB|，求△FAB的面积．

Answer 1

（I）由题意，抛物线C与直线l₁：y=-x的一个交点的坐标为（8，-8），
代入抛物线方程可得64=2p×8，∴2p=8，
∴抛物线C方程为y²=8x；
（II）∵不过原点的直线l₂与l₁垂直，∴可设l₂的方程为x=y+m，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l₂与x轴交点为M
直线方程代入抛物线方程，可得y²-8y-8m=0
△=64+32m＞0，∴m＞-2
由韦达定理得y₁+y₂=-8，y₁y₂=-8m，∴x₁x₂=m²，
由题意，OA⊥OB，即x₁x₂+y₁y₂=m²-8m=0
∴m=8或m=0（舍去）
∴l₂的方程为x=y+8，M（8，0）
∴S_△FAB=

1

2

|FM||y1-y2|=3

(y1+y2)2-4y1y2

=24

5

．