Question

19．已知f（x）=x（1-a|x|），设关于x的不等式f（x）＜f（x+a）的解集为A，若[-1，1]⊆A，则实数a的取值范围是$（{0，\sqrt{2}-1}）$．

Answer 1

分析 通过讨论x的范围，得出函数的表达式，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质，从而得出a的范围．

解答 解：当x≥0时，f（x）=x-ax²=-a（x-$\frac{1}{2a}$）²+$\frac{1}{4a}$，
当x＜0时，g（x）=x+ax²=a（x+$\frac{1}{2a}$）²-$\frac{1}{4a}$，
当a=0时，A是空集，舍去，
当a＜0时，二次函数f（x）开口向上，对称轴x=$\frac{1}{2a}$，f（x）在x≥0上是增函数，A是空集，
二次函数g（x）开口向下，对称轴x=$\frac{1}{2a}$，g（x）在x＜0上是增函数，A是空集，
当a＞0时，二次函数f（x）开口向下，在[0，-$\frac{1}{2a}$]上是增函数，在（-$\frac{1}{2a}$，+∞）上是减函数，
二次函数g（x）开口向上，在（-∞，-$\frac{1}{2a}$]上是减函数，在（-$\frac{1}{2a}$，0）上是增函数，
∴a＞0时，A非空集，
对于任意的[-1，1]⊆A，f（x+a）＞f（x）成立．
当x≤0时，g（x+a）＞g（x）=g（-$\frac{1}{a}$-x），由g（x）区间单调性知，
x+a＞x且x+a＜-$\frac{1}{a}$-x，解得0＜a＜$\sqrt{2}$-1
当x＞0时，函数f（x）在单调增区间内满足f（x+a）＞f（x），
∴a的取值范围为，0＜a＜$\sqrt{2}$-1．
故答案为$（{0，\sqrt{2}-1}）$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．