Question

设函数f（x）=xe^x，g（x）=ax²+x
（I）若f（x）与g（x）具有完全相同的单调区间，求a的值；
（Ⅱ）若当x≥0时恒有f（x）≥g（x），求a的取值范围．

Answer 1

解：（I）∵f（x）=xe^x，∴f′（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x，…（2分）
当x＜-1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，-1）内单调递减；
当x＞-1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-1，+∞）内单调递增…（4分）
又g′（x）=2ax+1，由g′（-1）=-2a+1=0，得a=，
此时g（x）=x²+x=，
显然g（x）在（-∞，-1）内单调递减，在（-1，+∞）内单调递增，故a=．…（6分）
（II）当x≥0时恒有f（x）≥g（x），即f（x）-g（x）=x（e^x-ax-1）≥0恒成立．…（7分）
故只需F（x）=e^x-ax-1≥0恒成立，
对F（x）求导数可得F′（x）=e^x-a．…（8分）
∵x≥0，∴F′（x）=e^x-a，
若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）为增函数，
从而当x≥0时，F（x）≥F（0）=0，即f（x）≥g（x）；…（10分）
若a＞1，则当x∈（0，lna）时，F′（x）＜0，F（x）为减函数，
从而当x∈（0，lna）时，F（x）＜F（0）=0，即f（x）＜g（x），故f（x）≥g（x）不恒成立．
故a的取值范围为：a≤1----（12分）
分析：（I）求f（x）的导数，可得单调区间，由极值点可得a值，可验证符合题意；
（Ⅱ）可转化为f（x）-g（x）=x（e^x-ax-1）≥0恒成立，令F（x）=e^x-ax-1，可得导数F′（x）=e^x-a，对a进行分类讨论可得结论．
点评：本题考查函数和导数的综合应用，涉及恒成立问题和分类讨论的思想，属中档题．