Question

13．已知点P是圆（x-1）²+y²=8上的动点，且点P不在x轴上，F₁、F₂为圆与x轴的两个交点，若M是∠F₁PF₂的角平分线上一点，且$\overrightarrow{{F}_{1}M}$$•\overrightarrow{MP}$=0，又F₁M的延长线与直线PF₂交于点Q，N为PQ的中点，则|$\overrightarrow{MN}$|的取值范围是（　　）

• A． （0，2$\sqrt{2}$）
• B． （0，4$\sqrt{2}$）
• C． （0，4）
• D． （2$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 求得圆的圆心和半径，运用等腰三角形的三线合一和中位线定理，可得M为中点，|MN|=$\frac{1}{2}$|PF₁|，由圆的性质可得|MN|的范围．

解答 解：圆（x-1）²+y²=8的圆心为（1，0），半径为2$\sqrt{2}$，
令y=0，可得x=1±2$\sqrt{2}$，
$\overrightarrow{{F}_{1}M}$$•\overrightarrow{MP}$=0，可得MP⊥F₁M，又MP为∠F₁PF₂的角平分线，
即有|PF₁|=|PQ|，M为F₁Q的中点，
又N为PQ的中点，可得|MN|=$\frac{1}{2}$|PF₁|，
显然|PF₁|∈（0，4$\sqrt{2}$），即有|MN|∈（0，2$\sqrt{2}$）．
故选：A．

点评 本题考查圆的方程和运用，考查平面几何的三线合一和中位线定理的运用，注意数形结合的思想方法，属于中档题．