Question

【题目】已知函数f（x）=ax3+bx在x=2处取得极值为﹣16
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=ax3+bx的导数为f′（x）=3ax2+b，

由于f（x） 在x=2处取得极值为﹣16

故有f（2）=﹣16，且f′（2）=0

即12a+b=0且8a+2b=﹣16，

解得a=1，b=﹣12

（2）解：由（1）知 f（x）=x3﹣12x的导数为f′（x）=3x2﹣12，

令f′（x0=0，得x1=﹣2，x2=2，

当f′（x）＞0，即x＜﹣2或x＞2时，函数f（x）为增函数；

当f′（x）＜0，即﹣2＜x＜2时，函数f（x）为减函数．

则f（x）的增区间为（﹣∞，﹣2），（2，+∞），减区间为（﹣2，2）

【解析】（1）求得函数f（x）的导数，由题意可得f（2）=﹣16，且f′（2）=0，解a，b的方程组，即可得到a，b的值；（2）求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．