Question

已知圆M的圆心在x轴上，半径为1，直线l：y=

4

3

x-

1

2

被圆M所截的弦长为

3

，且圆心M在直线l的下方．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）若线段PQ的端点P的坐标为（4，3），端点Q在圆M上运动，线段PQ上一点R满足

PR

=2

RQ

，求R点轨迹方程．
（Ⅲ）设A（0，t），B（0，t+6），（-5≤t≤-2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值．

Answer 1

考点：轨迹方程,圆的标准方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（I）设圆心M（a，0），利用M到l：8x-6y-3=0的距离，求出M坐标，然后求圆M的方程；
（II）利用代入法，即可求出R点轨迹方程；
（Ⅲ）设A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），设AC斜率为k₁，BC斜率为k₂，推出直线AC、直线BC的方程，求出△ABC的面积S的表达式，求出面积的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）设圆心M（a，0），由已知，得M到l：8x-6y-3=0的距离为

1

2

，∴

|8a-3|

82+62

=

1

2

，
又∵M在l的下方，∴8a-3＞0，∴8a-3=5，a=1，故圆的方程为（x-1）²+y²=1．
（Ⅱ）设Q（a，b），R（x，y），则a=1.5x-2，b=1.5y-1.5，
∵端点Q在圆M上运动，
∴（1.5x-3）²+（1.5y-1.5）²=1；
（Ⅲ）设AC斜率为k₁，BC斜率为k₂，则直线AC的方程为y=k₁x+t，直线BC的方程为y=k₂x+t+6．
联立得C点的横坐标为x_c=

6

k1-k2

，
∵|AB|=t+6-t=6，∴S=

1

2

•

6

k1-k2

•6=

18

k1-k2

，
由于圆M与AC相切，所以1=

|k1+t|

1+k12

，∴k₁=

1-t2

2t

；
同理，k₂=

1-(t+6)2

2(t+6)

，
∴k₁-k₂=

3(t2+6t+1)

t2+6t

，
∴S=6（1-

1

t2+6t+1

），
∵-5≤t≤-2，∴-2≤t+3≤1，∴-8≤t²+6t+1≤-4，
∴S_max=

15

2

，S_min=

27

4

．

点评：本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，三角形面积的最值的求法，考查计算能力．