Question

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2（S_n+1）=a_n²+a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=2b_n（n∈N^*），数列{c_n}满足，数列{c_n}的前n项和为T_n，当n为偶数时，求T_n；
（3）若数列，甲同学利用第（2）问中的T_n，试图确定T_n-P_n的值是否可以等于20？为此，他设计了一个程序（如图），但乙同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束），你是否同意乙同学的观点？请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知a₁=2，2a_n=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1，由a_n＞0，知a_n-a_n-1=1由此能求出a_n．
（2）由题设知b_n=2ⁿ（n∈N^*）．n为偶数时，T_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）==．
（3）由程序可知，n为偶数，T_n=，，设d_n=A-B=T_n-P_n=，n=8时，T_n-P_n=20成立，程序停止．乙同学的观点错误．
解答：解：（1）n=1，2（S₁+1）=a₁²+a₁⇒a₁=2．（2分）
，
两式相减，得2a_n=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1．（4分）
⇒{a_n}为等差数列，首项为2，公差为1
∴a_n=n+1（n∈N^*）．（5分）
（2）∵{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴b_n=2ⁿ（n∈N^*）．（7分）
n为偶数时，T_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）．（8分）
==．（10分）
（3）由程序可知，n为偶数，
∴T_n=，
设d_n=A-B=T_n-P_n=．（13分）
∵n=8时，，且n为偶数
∴n=8时，T_n-P_n=20成立，程序停止．（14分）
∴乙同学的观点错误．（16分）
点评：本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，以程序图为载体考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．