Question

（2008•长宁区二模）已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和s_n满足s₁＞1，且6s_n=（a_n+1）（a_n+2）（n为正整数）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足bn=

an，n为偶数 2an，n为奇数

，求T_n=b₁+b₂+…+b_n；
（3）设Cn=

bn+1

bn

，(n为正整数)，问是否存在正整数N，使得n＞N时恒有C_n＞2008成立？若存在，请求出所有N的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）n=1时，6a₁=a₁²+3a₁+2，且a₁＞1，解得a₁=2．n≥2时，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，两式相减得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0由此能求出a_n．
（2）bn=

3n-1，n为偶数 23n-1，n为奇数

，T_n=b₁+b₂+…+b_n．再进行分类讨论能求出T_n．
（3）Cn=

2an+1 an = 23n+2 3n-1 ，n为偶数 an+1 2an = 3n+2 23n-1 ，n为奇数

，由此能够导出Cn≤C1=

5

4

＜2008，因此不存在满足条件的正整数N．

解答：解：（1）n=1时，6a₁=a₁²+3a₁+2，且a₁＞1，解得a₁=2．…..（2分）
n≥2时，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，
两式相减得：6a_n=a_n²-a_n-1²+3a_n-3a_n-1
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=3，
∴{a_n}为等差数列，a_n=3n-1．…．（6分）
（2）bn=

3n-1，n为偶数 23n-1，n为奇数

，T_n=b₁+b₂+…+b_n．…..（7分）
当n为偶数时，
T_n=（b₁+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=

4(1-8 n 2 )

1-8

+

n 2 (5+3n-1)

2

=

4

7

(8

n

2

-1)+

n(3n+4)

4

，…．（9分）
当n为奇数时，T_n=（b₁+b₃+…+b_n）+（b₂+b₄+…+b_n-1）
=

4(1-8 n+1 2 )

1-8

+

n-1 2 (5+3n-4)

2

=

4

7

(8

n+1

2

-1)+

(n-1)(3n+1)

4

．…（11分）∴Tn=

4 7 (8 n 2 -1)+ n(3n-4) 4 ，n为偶数 4 7 (8 n+1 2 -1)+ (n-1)(3n+1) 4 ，n为奇数

…..（12分）
（3）Cn=

2an+1 an = 23n+2 3n-1 ，n为偶数 an+1 2an = 3n+2 23n-1 ，n为奇数

，…..（14分）
当n为奇数时，Cn+2-Cn=

3n+8

23n+5

-

3n+2

23n-1

=

1

23n+5

[3n+8-64(3n+2)]＜0，…（15分）
∴C_n+2＜C_n，
∴{C_n}递减，…..（16分）
Cn≤C1=

5

4

＜2008，…..（17分）
因此不存在满足条件的正整数N．…..（18分）

点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．