Question

【题目】如图，在直角梯形中，，，且，点是中点，现将沿折起，使点到达点的位置.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）

【解析】

第（Ⅰ）问先证平面，由线面垂直证明面面垂直；

第（Ⅱ）问先找垂直关系后建立空间直角坐标系，利用向量法求出两面的法向量，进而求所成二面角的余弦值.

解：（Ⅰ）证明：∵，，点是中点，

∴，，∴四边形为平行四边形，

∴，

又，∴，

∴，，∴平面，

∴平面，

又∵平面，∴平面平面；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，

∴即为与平面所成的角，

∴，

∵平面，∴，∴为等腰直角三角形，∴，

故为等边三角形，

取的中点，连结，则，

∵平面，又平面，

∴平面平面，又平面，

∴平面，

以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图，

设，则，，，，

从而，，

设平面的一个法向量为，

则由得，令得，

又平面的一个法向量，

则，

所以，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.