试题分析:(1)由离心率为
,椭圆E上的点到点F距离的最小值为2,即a﹣c=2联立方程组求a,c的值,然后利用b
2=a
2﹣c
2求出b
2,则椭圆方程可求;
(2)(ⅰ)设出圆的一般方程,设N(8,t),把三点A(﹣4,0),F(2,0),N(8,t)代入圆的方程整理成标准式后利用基本不等式求出半径的最小值,同时求得半径最小时的圆的方程;
(ⅱ)设出直线l的方程,和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出M点的坐标,由
,借助于向量数量积求出直线的斜率,进一步得到M点的纵坐标,则△ABM的面积可求.
(1)由已知,
,且a﹣c=2,所以a=4,c=2,所以b
2=a
2﹣c
2=12,
所以椭圆E的方程为
.
(2)(ⅰ)由(1),A(﹣4,0),F(2,0),设N(8,t).
设圆的方程为x
2+y
2+dx+ey+f=0,将点A,F,N的坐标代入,得
,解得
.
所以圆的方程为
,
即
,
因为
,当且仅当
时,圆的半径最小,
故所求圆的方程为
.
(ⅱ)由对称性不妨设直线l的方程为y=k(x+4)(k>0).
由
,得(3+4k
2)x
2+32k
2x+64k
2﹣48=0
由﹣4+x
M=
,得
,所以
,
所以
,
,
所以
=
=
,
化简,得16k
4﹣40k
2﹣9=0,
解得
,或
,即
,或
,
此时总有y
M=3,所以△ABM的面积为
.