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已知椭圆E:的离心率为,右焦点为F,且椭圆E上的点到点F距离的最小值为2.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A,B,过点A的直线l与椭圆E及直线x=8分别相交于点M,N.
(ⅰ)当过A,F,N三点的圆半径最小时,求这个圆的方程;
(ⅱ)若,求△ABM的面积.
(1)
(2)   12

试题分析:(1)由离心率为,椭圆E上的点到点F距离的最小值为2,即a﹣c=2联立方程组求a,c的值,然后利用b2=a2﹣c2求出b2,则椭圆方程可求;
(2)(ⅰ)设出圆的一般方程,设N(8,t),把三点A(﹣4,0),F(2,0),N(8,t)代入圆的方程整理成标准式后利用基本不等式求出半径的最小值,同时求得半径最小时的圆的方程;
(ⅱ)设出直线l的方程,和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出M点的坐标,由,借助于向量数量积求出直线的斜率,进一步得到M点的纵坐标,则△ABM的面积可求.
(1)由已知,,且a﹣c=2,所以a=4,c=2,所以b2=a2﹣c2=12,
所以椭圆E的方程为
(2)(ⅰ)由(1),A(﹣4,0),F(2,0),设N(8,t).
设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0,将点A,F,N的坐标代入,得
,解得
所以圆的方程为

因为,当且仅当时,圆的半径最小,
故所求圆的方程为
(ⅱ)由对称性不妨设直线l的方程为y=k(x+4)(k>0).
,得(3+4k2)x2+32k2x+64k2﹣48=0
由﹣4+xM=,得,所以
所以
所以==
化简,得16k4﹣40k2﹣9=0,
解得,或,即,或
此时总有yM=3,所以△ABM的面积为
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