Question

6．已知f（x）=$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$，其中a＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若直线x-y-1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；
（3）设g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最大值．（其中e为自然对数的底数）

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（2）求出函数的导数，设出切点，由切线的方程可得切线的斜率，和切点，解方程即可得到a的值；
（3）由g（x）=xlnx-a（x-1），知g'（x）=lnx+1-a，当0＜a≤1时，g'（x）≥0，g（x）是增函数，最大值是g（e）=e-a（e-1）；当a≥2时，g'（x）≤0，g（x）是减函数，最大值是g（1）=0；当1＜a＜2时，g（x）先减后增，最大值是g（1）或g（e）．由此能求出g（x）在区间[1，e]上的最大值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$，
∴f′（x）=$\frac{a{x}^{2}-2ax（x-1）}{{x}^{4}}$=$\frac{2a-ax}{{x}^{3}}$，
∵a＞0，
∴由f′（x）=$\frac{2a-ax}{{x}^{3}}$＞0，
得$\left\{\begin{array}{l}{2a-ax＞0}\\{{x}^{3}＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{2a-ax＜0}\\{{x}^{3}＜0}\end{array}\right.$，
∴0＜x＜2，或无解，
∴函数f（x）的单调增区间为（0，2）．
由f′（x）=$\frac{2a-ax}{{x}^{3}}$＜0，
得$\left\{\begin{array}{l}{2a-ax＜0}\\{{x}^{3}＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{2a-ax＞0}\\{{x}^{3}＜0}\end{array}\right.$，
∴x＞2或x＜0．
∴函数f（x）的单调减区间为（-∞，0）和（2，+∞）．
（2）f（x）=$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$的导数为f′（x）=$\frac{a{x}^{2}-2ax（x-1）}{{x}^{4}}$=$\frac{2a-ax}{{x}^{3}}$，
设切点为（m，n），可得切线的斜率为$\frac{2a-am}{{m}^{3}}$=1，
且n=m-1=$\frac{a（m-1）}{{m}^{2}}$，
解得m=1，n=0，a=1．
则a的值为1；
（3）∵f（x）=$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$，g（x）=xlnx-x²f（x），
∴g（x）=xlnx-a（x-1），
∴g'（x）=lnx+1-a，
当0＜a≤1时，g'（x）≥0，g（x）是增函数，最大值是g（e）=e-a（e-1）；
当a≥2时，g'（x）≤0，g（x）是减函数，最大值是g（1）=0；
当1＜a＜2时，g（x）先减后增，最大值是g（1）或g（e）．
设g（1）＞g（e），即 e-a（e-1）＜0，即 a＞$\frac{e}{e-1}$，
所以若$\frac{e}{e-1}$＜a＜2 时，最大值是g（1），
若1＜a＜$\frac{e}{e-1}$，最大值是g（e）．
综上，0＜a＜$\frac{e}{e-1}$时，最大值是g（e）=e-a（e-1）；
$\frac{e}{e-1}$＜a＜2 时，最大值是g（1）=0．

点评 本题考查导数的运用：函数的单调区间和切线的求法和函数在闭区间上的最大值．综合性强，是高考的重点．解题时要认真解答，注意导数性质的灵活运用．易错点是分类不清，导致出错．