Question

10．给出定义在（0，+∞）上的两个函数f（x）=x²-alnx，g（x）=x-a$\sqrt{x}$．
（1）若f（x）在x=1处取最值．求实数a的值；
（2）若函数h（x）=f（x）+g（x²）在区间（0，1]上单调递减，求实数a的取值范围；
（3）在（1）的条件下，试确定函数m（x）=f（x）-g（x）-6的零点个数，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先对f（x）求导，根据f'（1）=0，即可求出a的值；
（2）函数h（x）=f（x）+g（x²）在区间（0，1]上单调递减则h'（x）≤0，即4x-a（1+$\frac{1}{x}$）≤0在区间（0，1]上恒成立；
（3）根据m（x）的导函数零点判断函数的单调性，再可取特征点判断零点个数．

解答 解：（1）f'（x）=2x-$\frac{a}{x}$   由已知，f'（1）=0 即：2-a=0，
解得：a=2，经检验a=2满足题意，
所以 a=2．
（2）h（x）=f（x）+g（x²）=x²-alnx+x²-ax=2x²-a（x+lnx）；
 h'（x）=4x-a（1+$\frac{1}{x}$）  要使得h（x）=2x²-a（x+lnx）在区间（0，1]上单调递减，
则h'（x）≤0，即4x-a（1+$\frac{1}{x}$）≤0在区间（0，1]上恒成立；
因为x∈（0，1]，所以a≥$\frac{4{x}^{2}}{x+1}$；
设函数F（x）=$\frac{4{x}^{2}}{x+1}$，则   a≥F（x）_max；
F（x）=$\frac{4{x}^{2}}{x+1}$=$\frac{4}{（\frac{1}{x}）^{2}+\frac{1}{x}}$
因为x∈（0，1]，所以$\frac{1}{x}$∈[1，+∞），所以${（{{{（{\frac{1}{x}}）}^2}+\frac{1}{x}}）_{min}}=2$；
所以F（x）_max=2，所以a≥2．
（3）函数m（x）=f（x）-g（x）-6有两个零点．因为m（x）=x²-2lnx-x+2$\sqrt{x}$-6；
所以  m'（x）=$2x-\frac{2}{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}}$=$\frac{（\sqrt{x}-1）（2x\sqrt{x}+2x+\sqrt{x}+2）}{x}$；
当x∈（0，1）时，m'（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，m'（x）＞0；
所以m（x）_min=m（1）=-4＜0，
m（e^-2）=$\frac{（1-e）（1+e+2{e}^{3}）}{{e}^{4}}$＜0，$m（{e^{-4}}）=\frac{{1+2{e^8}+{e^4}（2{e^2}-1）}}{e^8}＞0$；
m（e⁴）=e⁴（e⁴-1）+2（e²-7）＞0 故由零点存在定理可知：
函数m（x）在 （e^-4，1）存在一个零点，函数m（x）在（1，e⁴） 存在一个零点，
所以函数m（x）=f（x）-g（x）-6有两个零点．

点评 本题主要考查了导数的定义，函数的单调性与导函数的关系以及根据函数单调性判断零点个数，属中等题．