Question

3．已知函数f（x）=x+$\frac{2x}{{4}^{x}-1}$．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）可以看出x≠0，这便得出了f（x）的定义域；
（2）先通分，得到$f（x）=\frac{x{•4}^{x}+x}{{4}^{x}-1}$，然后求f（-x），从而可以判断f（x）的奇偶性．

解答 解：（1）要使f（x）有意义，则：4^x≠1，即x≠0；
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}；
（2）$f（x）=\frac{x•{4}^{x}+x}{{4}^{x}-1}$，$f（-x）=\frac{-x•{4}^{-x}-x}{{4}^{-x}-1}=\frac{x+x•{4}^{x}}{{4}^{x}-1}=f（x）$；
∴f（x）为偶函数．

点评 考查函数定义域的概念及求法，函数奇偶性的定义，以及根据定义判断和证明一个函数奇偶性的方法和过程，对f（x）通分很关键．