Question

11．已知函数f（x）的定义域为R，其图象关于原点中心对称，且x＞0时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$+2．
（1）求f（x）在x≤-1时的解析式，并说明在（0，+∞）上f（x）的单调性：（不需证明）
（2）记f（x）在x∈[t，t+1]上的最大值为g（t），求g（t）的表达式（其中常数 t＞0）．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的性质，可求出当x小于零时的解析式，当然也适合x≤-1；
（2）利用函数的单调性对t进行分类讨论，求得函数最大值的表达式．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为R，其图象关于原点中心对称，
∴函数f（x）为奇函数，且f（0）=0
设x＜0，则-x＞0
∴f（-x）=-x+$\frac{1}{-x}$+2=-f（x）
∴f（x）=x+$\frac{1}{x}$-2（x＜0）；
在（0，+∞）上f（x）的单调减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）；
（2）由（1）知，
在（0，+∞）上f（x）的单调减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）；
∴当t≥1时，f（x）的最大值g（t）=f（t+1）=t+1+$\frac{1}{t+1}$+2；
当0＜t＜1时，令f（t）=f（t+1）得：t+$\frac{1}{t}$=t+1+$\frac{1}{t+1}$
∴t=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
故当0＜t＜$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$时，f（x）的最大值g（t）=f（t）=t+$\frac{1}{t}$+2；
$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$≤t＜1时，f（x）的最大值g（t）=f（t+1）=t+1+$\frac{1}{t+1}$+2．
∴当0＜t＜$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$时，f（x）的最大值g（t）=f（t）=t+$\frac{1}{t}$+2；
当$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$≤t时，f（x）的最大值g（t）=f（t+1）=t+1+$\frac{1}{t+1}$+2．

点评 考察了奇函数的性质和利用单调性求函数的最值，难点是对t的分类讨论．