Question

19．已知公差不为0的等差数列{a_n}中，a₁，a₃，a₇成等比数列，S₂+S₄=19
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=a_n+1×3^a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）设公差d不为0的等差数列{a_n}，运用等比数列的中项的性质，等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得a₁=2，d=1，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）求得b_n=a_n+1•3^a_n=（n+2）•3ⁿ⁺¹，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（I）公差d不为0的等差数列{a_n}中，a₁，a₃，a₇成等比数列，
可得a₁a₇=a₃²，即为a₁（a₁+6d）=（a₁+2d）²，
化为a₁=2d，
由S₂+S₄=19，可得2a₁+d+4a₁+6d=19，即为6a₁+7d=19，
解得a₁=2，d=1，
则a_n=a₁+（n-1）d=2+n-1=n+1；
（Ⅱ）数列{b_n}满足b_n=a_n+1•3^a_n=（n+2）•3ⁿ⁺¹，
前n项和T_n=3•3²+4•3³+…+（n+2）•3ⁿ⁺¹，
3T_n=3•3³+4•3⁴+…+（n+2）•3ⁿ⁺²，
相减可得，-2T_n=27+（3³+3⁴+…+3ⁿ⁺¹）-（n+2）•3ⁿ⁺²
=27+$\frac{27（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（n+2）•3ⁿ⁺²，
化简可得T_n=$\frac{2n+3}{4}$•3ⁿ⁺²-$\frac{27}{4}$．

点评 本题考查等差（比）数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：错位相减法，注意化简整理，属于中档题．