Question

7．在各项都不相等的等差数列{a_n}中．a₁，a₂是关于x的方程x²-7a₄x+18a₃=0的两个实根．
（1）试判断-22是否在数列{a_n}中；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意得到$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{2}=7{a}_{4}}\\{{a}_{1}{a}_{2}=18{a}_{3}}\end{array}\right.$，设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），化为关于a₁和d的方程组求得首项和公差，求得通项公式，即可判断-22不是数列{a_n}中的项；
（2）写出等差数列的前n项和，利用二次函数求得数列{a_n}的前n项和S_n的最大值．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，且a₁，a₂是关于x的方程x²-7a₄x+18a₃=0的两个实根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{2}=7{a}_{4}}\\{{a}_{1}{a}_{2}=18{a}_{3}}\end{array}\right.$，设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
则$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+d=7（{a}_{1}+3d）}\\{{a}_{1}（{a}_{1}+d）=18（{a}_{1}+2d）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=12}\\{d=-3}\end{array}\right.$．
∴a_n=12-3（n-1）=15-3n，
由15-3n=-22，得n=$\frac{37}{3}$，∴-22不是数列{a_n}中的项；
（2）${S}_{n}=12n+\frac{n（n-1）×（-3）}{2}$=$-\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{27n}{2}$，
对称轴方程为n=$\frac{27}{6}$，
∵n∈N^*，∴当n=4或5时，S_n取得最大值30．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，训练了利用二次函数求得函数的最值，是中档题．