Question

10．设函数f（x）=e^xsinx，x∈[0，π]，则（　　）

• A． x=$\frac{π}{2}$为f（x）的极小值点
• B． x=$\frac{π}{2}$为f（x）的极大值点
• C． x=$\frac{3π}{4}$为f（x）的极小值点
• D． x=$\frac{3π}{4}$为f（x）的极大值点

Answer 1

分析 求导，利用辅助角公式整理得f′（x）=$\sqrt{2}$e^xsin（x+$\frac{π}{4}$），根据三角函数性质求得f（x）在[0，π]单调性，由极值定义即可求得f（x）的极值．

解答 解：∵f（x）=e^xsinx，
∴f′（x）=e^x（sinx+cosx）=$\sqrt{2}$e^xsin（x+$\frac{π}{4}$），
由f′（x）≤0，sin（x+$\frac{π}{4}$）≤0，
∴2kπ+π≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+2π，即2kπ+$\frac{3π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{7π}{4}$，
∵x∈[0，π]，x∈[0，$\frac{3π}{4}$]单调递增，x∈[$\frac{3π}{4}$，π]是单调递减，
∴x=$\frac{3π}{4}$为f（x）取极大值点．
故答案选：D．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求闭区间上函数的极值，属于中档题．