Question

4．已知函数f（x）=ax-$\frac{b}{x}$-2lnx，f（1）=0
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围？
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且a_n+1=f′（$\frac{1}{{a}_{n}+1}$）-na_n+1，若a₁≥3，求证：a_n≥n+2．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=0，可得a=b，代入原函数，由函数f（x）在其定义域内为单调函数，则f′（x）在（0，+∞）恒大于等于0或恒小于等于0，然后对a分类分析，求得满足条件的a的取值范围；
（2）由题意可得，f′（1）=0，即a+a-2=0，得a=1，求得f′（x）=$（\frac{1}{x}-1）^{2}$，代入a_n+1=f′（$\frac{1}{{a}_{n}+1}$）-na_n+1，求得数列递推式，然后利用数学归纳法证明a_n≥n+2．

解答 （1）解：∵f（x）=ax-$\frac{b}{x}$-2lnx，且f（1）=0，
∴a-b=0，即a=b，则f（x）=ax-$\frac{a}{x}-2lnx$，f′（x）=a+$\frac{a}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$．
要使函数f（x）在其定义域内为单调函数，则f′（x）在（0，+∞）恒大于等于0或恒小于等于0，
当a=0时，则f′（x）=$-\frac{2}{x}＜0$恒成立，适合题意；
当a＞0时，要使f′（x）=$a（\frac{1}{x}-\frac{1}{a}）^{2}+a-\frac{1}{a}≥0$恒成立，则$a-\frac{1}{a}≥0$，解得a≥1；
当a＜0时，由f′（x）=a+$\frac{a}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$＜0恒成立，适合题意．
∴实数a的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）；
（2）由题意可得，f′（1）=0，即a+a-2=0，得a=1，
∴f′（x）=$（\frac{1}{x}-1）^{2}$，
于是a_n+1=f′（$\frac{1}{{a}_{n}+1}$）-na_n+1=${{a}_{n}}^{2}-n{a}_{n}+1$．
用数学归纳法证明如下：
当n=1时，a₁≥3=1+2，
假设当n=k时成立（k≥1，且k∈N^*），即a_k≥k+2，即a_k-k≥2成立，
则当n=k+1时，a_k+1=a_k（a_k-k）+1≥（k+2）×2+1=2k+5＞2（k+1）+2．
∴n=k+1时，结论成立．
综上，a_n≥n+2．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，属中档题．