Question

3．已知函数f（x）=（x²+x-1）e^x（x∈R）．
（1）求曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求导，f′（1）=4e，直线斜率为4e，且过点（1，e），利用点斜式方程，求得切线方程；
（2）先求出函数的单调区间，从而求出函数的极值．

解答 解：（1）∵f（x）=（x²+x-1）e^x，（x∈R）
∴f′（x）=（x²+3x）e^x，
∴f（1）=e，f′（1）=4e，
∴曲线f（x）在（1，f（1））处的切线的方程为y-e=4e（x-1），
即4ex-y-3e=0；
（2）由（1）知f′（x）=（x²+3x）e^x，
令f′（x）=0，解得：x=-3或x=0，
令f′（x）＞0，解得：x＜-3或x＞0；函数单调递增；
令f′（x）＜0，解得-3＜x＜0，函数单调递递减．

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

当x=-3时取极大值，极大值为5e^-3，当x=0取极小值为-1．

点评 本题考查利用导数法求曲线的切线方程及利用函数的单调性求极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．