Question

8．倾斜角为45°的直线l经过抛物线y²=8x的焦点F，且l与抛物线交于A，B两点，则|$\overrightarrow{FA}$|•|$\overrightarrow{FB}$|的值为32．

Answer 1

分析 由抛物线y²=8x，可得焦点F（2，0），直线l的方程为：y=x-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程的根与系数的关系、抛物线的定义即可得出．

解答 解：由抛物线y²=8x，可得焦点F（2，0），
直线l的方程为：y=x-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，化为：x²-12x+4=0，
∴x₁+x₂=12，x₁x₂=4．
∴|$\overrightarrow{FA}$|•|$\overrightarrow{FB}$|=（x₁+2）（x₂+2）=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4=4+2×12+4=32．
故答案为：32．

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．