Question

20．已知函数f（x）=（3-a）x-2+a-2lnx（a∈R）
（1）若函数y=f（x）在区间（1，3）上单调，求a的取值范围；
（2）若函数g（x）=f（x）-x在（0，$\frac{1}{2}$）上无零点，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为对x∈（0，$\frac{1}{2}$），a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$恒成立，令l（x）=2-$\frac{2lnx}{x-1}$，x∈（0，$\frac{1}{2}$），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=3-a-$\frac{2}{x}$=$\frac{（3-a）x-2}{x}$，
当a≥3时，有f′（x）＜0，即函数f（x）在区间（1，3）上单调递减；
当a＜3时，令f′（x）=0，得x=$\frac{2}{3-a}$，若函数y=f（x）在区间（1，3）单调，
则$\frac{2}{3-a}$≤1或$\frac{2}{3-a}$≥3，解得：a≤1或$\frac{7}{3}$≤a＜3，
综上，a的范围是（-∞，1]∪[$\frac{7}{3}$，+∞）；
（2）x→0时，g（x）→+∞，
∴g（x）=（2-a）（x-1）-2lnx＜0在区间（0，$\frac{1}{2}$）上恒成立不可能，
故要使函数g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）无零点，只需对任意的x∈（0，$\frac{1}{2}$），g（x）＞0恒成立，
即对x∈（0，$\frac{1}{2}$），a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$恒成立，
令l（x）=2-$\frac{2lnx}{x-1}$，x∈（0，$\frac{1}{2}$），
则l′（x）=$\frac{2lnx+\frac{2}{x}-2}{{（x-1）}^{2}}$，
令m（x）=2lnx+$\frac{2}{x}$-2，x∈（0，$\frac{1}{2}$），
则m′（x）=$\frac{-2（1-x）}{{x}^{2}}$＜0，
故m（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上递减，于是m（x）＞m（$\frac{1}{2}$）=2-2ln2＞0，
从而，l′（x）＞0，于是l（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，
∴l（x）＜l（$\frac{1}{2}$）=2-4ln2，
故要使a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$恒成立，只需a∈[2-4ln2，+∞），
综上，若函数g（x）=f（x）-x在（0，$\frac{1}{2}$）上无零点，则a的最小值是2-4ln2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．