Question

7．过抛物线y²=2px（p＞0）焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，作AC，BD垂直抛物线的准线l于C，D，其中O为坐标原点，则下列结论正确的是①②③．（填序号）
①$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}$；
②存在λ∈R，使得$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AO}$成立；
③$\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}$=0；
④准线l上任意一点M，都使得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$＞0．

Answer 1

分析 由向量的三角形法则，可得①正确；运用直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和向量共线的条件，化简整理，即可判断②正确；运用向量的数量积的坐标表示，以及韦达定理，即可判断③正确；运用抛物线的定义以及以AB为直径的圆的半径与梯形ACDB的中位线长相等，可得该圆与CD相切，即可判断④不正确．

解答 解：对于①，由$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BD}$-$\overrightarrow{BA}$，可得①正确；
对于②，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得C（-$\frac{p}{2}$，y₁），D（-$\frac{p}{2}$，y₂），
又k_OA=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}}$，k_AD=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}+\frac{p}{2}}$，设直线AB方程为x=my+$\frac{p}{2}$．
代入抛物线的方程，可得y²-2pmy-p²=0，
可得y₁y₂=-p²，即有y₁（y₁-y₂）=y₁²-y₁y₂=2px₁+p²，
则k_OA=k_AD，即有存在λ∈R，使得$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AO}$成立，则②正确；
对于③，$\overrightarrow{FC}$•$\overrightarrow{FD}$=（-p，y₁）•（-p，y₂）=y₁y₂+p²=0，可得③正确；
对于④，由抛物线的定义可得|AB|=|AC|+|BD|，
可得以AB为直径的圆的半径与梯形ACDB的中位线长相等，
即有该圆与CD相切，设切点为M，即有AM⊥BM，则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$=0，
则④不正确．
故答案为：①②③．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，同时考查向量的加减和数量积运算，考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理，考查运算和推理能力，属于中档题．