Question

16．在如图所示的几何体中，已知△BCD是等腰直角三角形且BD=CD，AB=BC=AC=2，AE=1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC．
（1）证明：AE∥平面BCD；
（2）证明：CD⊥平面BDE．

Answer 1

分析 （1）取BC中点M，连结AM，DM，根据面面垂直的性质得出DM⊥平面ABC，再根据线面垂直的性质得出DM∥AE，结论得证；
（2）计算CD，DM，CE，根据勾股定理的逆定理得出CD⊥DE，结合CD⊥BD得出CD⊥平面BDE．

解答 证明：（1）取BC中点M，连结AM，DM．
∵CD=BD，M是BC的中点，
∴DM⊥BC，又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，
∴DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，
∴AE∥DM，又AE?平面BCD，DM?平面BCD，
∴AE∥平面BCD．
（2）∵△ABC是等边三角形，△BCD是等腰直角三角形，BC=2，M是BC的中点，
∴DM=$\frac{1}{2}BC$=1，AM=$\sqrt{3}$．CD=$\sqrt{2}$，AC=2，
∴DM=AE，又DM∥AE，
∴四边形AMDE是平行四边形，
∴DE=AM=$\sqrt{3}$，
∵AE⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴AE⊥AC，∴CE=$\sqrt{A{C}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴CD²+DE²=CE²．∴CD⊥DE．
又CD⊥BD，DE?平面BDE，BD?平面BDE，DE∩BD=D，
∴CD⊥平面BDE．

点评 本题考查了面面垂直的性质，线面垂直的判定，属于中档题．