Question

11．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的半焦距为c，直线l过（c，0），（0，b）两点，若直线l与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意便知，直线l与渐近线$y=\frac{b}{a}x$垂直，而直线l的斜率可以求出，这样根据相互垂直的直线斜率的关系即可得到$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{ac}=1$，通过该式解出$\frac{c}{a}$即可．

解答 解：根据题意知，直线l与双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}x$垂直；
直线l的斜率为$-\frac{b}{c}$；
∴$\frac{b}{a}•（-\frac{b}{c}）=-\frac{{b}^{2}}{ac}=-\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{ac}=-1$；
∴$\frac{c}{a}-\frac{a}{c}=1$，可设$\frac{c}{a}=e$，则：$e-\frac{1}{e}-1=\frac{{e}^{2}-e-1}{e}=0$；
∴e²-e-1=0；
解得$e=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，或$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍去）．
故答案为：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 考查双曲线渐近线的概念及求法，直线的点斜式方程，由点的坐标求直线斜率的公式，以及相互垂直的直线的斜率的关系，双曲线离心率的概念及计算公式，解一元二次方程．