Question

3．已知g（x）是定义在R上的奇函数，f（x）=g（x-$\frac{1}{2}$）+2，则f（sin²1°）+f（sin²2°）+…+f（sin²89°）=178．

Answer 1

分析 各项括号中的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后根据f（x）=g（x-$\frac{1}{2}$）+2及g（x）是定义在R上的奇函数变形，计算即可求出值．

解答 解：∵f（x）=g（x-$\frac{1}{2}$）+2，且g（x）为奇函数，
∴f（sin²1°）+f（sin²2°）+…+f（sin²89°）
=f（$\frac{1-cos2°}{2}$）+f（$\frac{1-cos4°}{2}$）+…+f（$\frac{1-cos88°}{2}$）+f（$\frac{1-cos90°}{2}$）+…+f（$\frac{1-cos178°}{2}$）
=f（$\frac{1-cos2°}{2}$）+f（$\frac{1-cos4°}{2}$）+…+f（$\frac{1-cos88°}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）+…+f（$\frac{1+cos2°}{2}$）
=g（-$\frac{1}{2}$cos2°）+2+…+g（-$\frac{1}{2}$cos88°）+2+g（0）+…+g（$\frac{1}{2}$cos2°）+2
=-g（$\frac{1}{2}$cos2°）+2-…-g（$\frac{1}{2}$cos88°）+2+0+2+g（$\frac{1}{2}$cos88°）+2+…+g（$\frac{1}{2}$cos2°）+2
=2×89
=178．
故答案为：178

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，函数奇偶性的性质，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键．