Question

（本小题满分12分）

设函数.

(1)对于任意实数，在恒成立（其中表示的导函数），求的最大值；

(2)若方程在上有且仅有一个实根，求的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2).

【解析】

试题分析：解：(1),.

法一：在恒成立在恒成立.…………………3分

由在的最小值为，

所以,得，即的最大值为. …………………………………………………6分

法二：令，.

要使在恒成立，则只需在恒成立.

由于的对称轴为,当时，，

解得，所以的最大值为.……………………………………………………6分

(2)因为当时, ；当时, ；当时,；

即在和单增，在单减.

所以，.………………………………9分

故当或时,方程仅有一个实根.

得或时，方程仅有一个实根.

所以.………………………………………………………………12分

考点：导数在研究函数中的运用

点评：根据导数不等式恒成立，来分析函数的最值来得到结论，同时对于方程根的问题，转化为图像与坐标轴的交点情况来说明即可，属于中档题。