【题目】已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意可知 ,设
且
,求出点
的坐标,求出
方程,得到
,进而写出直线
的斜率为
,直线
的斜率为
利用
,即可证明
;
(Ⅱ)设直线与
轴的交点为
,利用
的面积是
的面积的两倍,求出
的坐标,由kAB=kDE可得
=
(x≠1).讨论即可得到
中点的轨迹方程.
试题解析:
(1)证明 由题意可知F,
设l1:y=a,l2:y=b,且ab≠0,A,B
,P
,Q
,
R.记过A,B两点的直线为l,
则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.
因为点F在线段AB上,所以ab+1=0,
记直线AR的斜率为k1,直线FQ的斜率为k2,
所以k1=,k2=
=-b,
又因为ab+1=0,
所以k1==
=
=
=-b,
所以k1=k2,即AR∥FQ.
(2)解 设直线AB与x轴的交点为D(x1,0),
所以S△ABF=|a-b|FD=
|a-b|
,
又S△PQF=,所以由题意可得S△PQF=2S△ABF
即:=2×
×|a-b|·
,
解得x1=0(舍)或x1=1.
设满足条件的AB的中点为E(x,y).
当AB与x轴不垂直时,
由kAB=kDE可得=
(x≠1).
又=
,所以y2=x-1(x≠1).
当AB与x轴垂直时,E与D重合,
所以,所求轨迹方程为y2=x-1.
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【题目】已知椭圆的左焦点为,有一质点A从
处以速度v开始沿直线运动,经椭圆内壁反射
无论经过几次反射速率始终保持不变
,若质点第一次回到
时,它所用的最长时间是最短时间的7倍,则椭圆的离心率e为
A. B.
C.
D.
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【题目】某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图,则下列结论正确的是( )
注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生.
A.互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
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【题目】如图为函数(
)图象的一部分.
(1)求函数的解析式,并写出
的振幅、周期、初相.
(2)求使得的x的集合.
(3)两数的图象可由两数
的图象经过怎样的变换而得到?
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【题目】狄利克雷是德国著名数学家,函数,被称为狄利克雷函数,下面给出关于狄利克雷函数
的五个结论:
①若是无理数,则
;
②函数的值域是
;
③函数是偶函数;
④若且
为有理数,则
对任意的
恒成立;
⑤存在不同的三个点,使得
为等边三角形.
其中正确结论的序号是___________.
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【题目】已知二次函数满足
,且
的最小值是
.
(1)求的解析式;
(2)若关于的方程
在区间
上有唯一实数根,求实数
的取值范围;
(3)函数,对任意
都有
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知数列的前
项和为
,满足
,
,数列
满足
,
,且
.
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:数列是等差数列,求数列
的通项公式;
(3)若,数列
的前
项和为
,对任意的
,都有
,求实数
的取值范围.
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【题目】定义在上的函数
,如果存在函数
(
为常数),使得
对一切实数
都成立,则称
为函数
的一个承托函数.给出如下命题:
① 函数是函数
的一个承托函数;
② 函数是函数
的一个承托函数;
③ 若函数是函数
的一个承托函数,则
的取值范围是
;
④ 值域是的函数
不存在承托函数。 其中,所有正确命题的序号是__.
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