Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，点A在x轴的正半轴上，直线AB的倾斜角为

3π

4

，|

OB

|=2，设∠AOB=θ，θ∈(

π

2

，

3π

4

)．
（1）用θ有示点B的坐标及|

OA

|；
（2）求

OA

•

OB

的范围．

Answer 1

分析：（1）由三角函数的定义，得点B的坐标；在△AOB中利用正弦定理求出|OA|长．
（2）利用向量的数量积公式等于向量的模乘以它们的夹角余弦乘积及三角函数的诱导公式求出．

解答：（1）解：由三角函数的定义，得点B的坐标为（2cosθ，2sinθ）．
在△AOB中，|OB|=2，∠BAO=

π

4

， ∠B=π-

π

4

-θ=

3π

4

-θ，
由正弦定理，得

|OB|

sin π 4

=

|OA|

sin∠B

，
即

2

2 2

=

|OA|

sin( 3π 4 -θ)

，
所以 |OA|=2

2

sin(

3π

4

-θ)．

（2）解：由（1）得

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|•cosθ=4

2

sin(

3π

4

-θ)•cosθ
=4cos²θ+4sinθcosθ=2cos2θ+2sin2θ+2
=2

2

sin（2θ+

π

4

)+2
∵θ∈(

π

2

，

3π

4

)，
∴2θ+

π

4

∈(

5π

4

，

7π

4

)．
则

OA

•

OB

∈[2-2

2

，0)．

点评：此题是个基础题．本题考查三角函数的定义；考查三角函数的正弦定理；考查向量的数量积；考查三角函数的诱导公式，以及三角函数在定区间上的最值．考查学生分析解决问题的能力．