Question

本小题满分12分）

已知三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，

N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．

(I)证明：CM⊥SN；(II)求SN与平面CMN所成角的大小．

 

Answer 1

【答案】

 (1)证明：见解析；(2) SN与平面CMN所成角为45°.

【解析】如果已知向量的坐标，求向量的夹角，我们可以分别求出两个向量的坐标，进一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式cosθ得到。

（1）要证明CM⊥SN，我们可要证明 ·＝0即可，根据向量数量积的运算，我们不难证明；

（2）要求SN与平面CMN所成角的大小，我们只要利用求向量夹角的方法，求出SN和方向向量与平面CMN的法向量的夹角，再由它们之间的关系，易求出SN与平面CMN所成角的大小．

解：设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M，N，S.

(1)证明：＝(1，－1，)，＝，因为·＝－＋＋0＝0，

所以CM⊥SN.

(2) ＝，设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则，

∴，取x＝2，得a＝(2,1，－2)．因为|cos〈a，〉|＝，

所以SN与平面CMN所成角为45°.