Question

9．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆，左焦点F₁（-1，0），一个顶点坐标为（0，1）．
（1）求椭圆方程；
（2）直线l过椭圆的右焦点F₂交椭圆于A、B两点，当△AOB面积最大时，求直线l方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），由c=1，b=1，a²=b²+c²，即可得出．
（2）设直线l的方程为my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立可得：（2+m²）y²+2my-1=0，利用根与系数的关系可得：|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$，利用点到直线的距离公式可得：原点O到直线l的距离d．利用S_△AOB=$\frac{1}{2}d|AB|$，及其基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
又c=1，b=1，∴a²=b²+c²=2．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）F₂（1，0），
设直线l的方程为my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为（2+m²）y²+2my-1=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-1}{2+{m}^{2}}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（\frac{-2m}{2+{m}^{2}}）^{2}-4×\frac{-1}{2+{m}^{2}}]}$=$\frac{2\sqrt{2}（1+{m}^{2}）}{2+{m}^{2}}$．
原点O到直线l的距离d=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}d|AB|$=$\frac{\sqrt{2}\sqrt{1+{m}^{2}}}{2+{m}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}+\sqrt{1+{m}^{2}}}$$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，当且仅当m=0时取等号．
此时直线l的方程为：x=1．
因此当△AOB面积最大为$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，直线l方程为x=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．