Question

18．已知定义在R上奇函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x）且f（x）在区间[3，5]上单调递增，则函数f（x）在区间[1，3]上的（　　）

• A． 最大值是f（1），最小值是f（3）
• B． 最大值是f（3），最小值是f（1）
• C． 最大值是f（1），最小值是f（2）
• D． 最大值是f（2），最小值是f（3）

Answer 1

分析 根据条件判断函数的周期性和对称性，利用奇偶性，周期性和单调性之间的关系是解决本题的关键．

解答 解：∵定义在R上奇函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x），
∴f（1+x）=f（1-x）=-f（x-1），
即f（x+2）=-f（x），即f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
则函数f（x）的周期是4，
∵f（x）在区间[3，5]上单调递增，
∴f（x）在区间[-1，1]上单调递增，
∵f（1+x）=f（1-x），
∴函数关于x=1对称，
则f（x）在区间[1，3]上的单调递减，
则最大值是f（1），最小值是f（3），
故选：A

点评 本题主要考查函数单调性的判断，根据函数奇偶性，对称性和单调性之间的关系是解决本题的关键．