Question

20．已知实数x，y满足$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，求x²+y²-x的最大值与最小值．

Answer 1

分析 通过变形可知x²+y²-x=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+y²-$\frac{1}{4}$，进而问题即求椭圆上的点P到点Q（$\frac{1}{2}$，0）的距离的最值，进而计算可得结论．

解答 解：∵x²+y²-x=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+y²-$\frac{1}{4}$，
∴问题即求椭圆上的点P到点Q（$\frac{1}{2}$，0）的距离的最值，
设以点Q为圆心的圆的方程为：$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+y²=d，
与椭圆方程联立消去y得：x²-2x+$\frac{9}{2}$-2d=0，
令△=（-2）²-4（$\frac{9}{2}$-2d）=0，解得：d=$\frac{7}{4}$，
∴x²+y²-x的最小值为$\sqrt{\frac{7}{4}}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}-\frac{1}{4}$，
当点P为椭圆左端点时取最大值为$\sqrt{\frac{1}{2}-（-2）}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}-\frac{1}{4}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．