Question

12．已知函数f（x）=ln$\frac{7+x}{7-x}$．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{7+x}{7-x}$＞0，可求得f（x）的定义域；
（2）由f（-x）+f（x）=0可判断f（x）为奇函数

解答 解：（1）由$\frac{7+x}{7-x}$＞0得：$\frac{x+7}{x-7}＜0$，
解得：-7＜x＜7；
∴f（x）的定义域为{x|-7＜x＜7}；
（2）f（x）=ln$\frac{7+x}{7-x}$为奇函数．证明如下：
由（1）得f（x）=ln$\frac{7+x}{7-x}$的定义域关于原点对称，
又∵f（-x）+f（x）=ln $\frac{7+x}{7-x}$+ln$\frac{7-x}{7+x}$=ln（$\frac{7+x}{7-x}$×$\frac{7-x}{7+x}$）=ln1=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=ln$\frac{7-x}{7+x}$为奇函数

点评 本题考查对数函数的定义域与奇偶性，对a分类讨论是难点，由f（-x）+f（x）=0判断该题的奇偶性是好方法，属于中档题