Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为4$\sqrt{2}$，求椭圆C的标准方程．

Answer 1

分析 由离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$及c²=a²-b²，得b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，再由2ab=4$\sqrt{2}$可求a，b，即可求椭圆C的标准方程．

解答 解：由离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
∵c²=a²-b²，∴b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
∵连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为4$\sqrt{2}$，
∴2ab=4$\sqrt{2}$，∴a=2，b=$\sqrt{2}$．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

点评 该题考查椭圆的方程、性质，考查学生的计算能力，确定几何量是关键．